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第一章 電力系統潮流計算1_圖文

第一章 電力系統潮流計算1_圖文

Department of Electrical Engineering

Baoding
2009.11-2009.01

電力系統分析

North China Electric Power University

目錄
一.電力系統潮流計算
二.電力系統狀態估計 三.電力系統靜態安全分析 四.電力系統復雜故障分析

參考書
1. 《現代電力系統分析》
2. 《高等電力網分析 》 3. 《電力系統狀態估計》 4 《電力系統故障分析》

王錫凡 主編
張伯明 于爾鏗 主編 劉萬順

第一章 電力系統潮流計算
一.概述 二.潮流計算問題的數學模型 三.潮流計算的幾種基本方法 四.保留非線性潮流算法 五.最小化潮流算法 六.潮流計算中的自動調整 七.最優潮流問題 八.交直流電力系統的潮流計算 九.幾種特殊性質的潮流計算問題簡介

一.概述
電力系統潮流計算是研究電力系統 穩態運行情況的基本電氣計算,電力系 統潮流計算的任務是根據給定的網絡結 構及運行條件,求出電網的運行狀態, 其中包括各母線的電壓、各支路的功率 分布以及功率損耗等。

一.概述
離線計算:規劃設計;運行方式分析;其他 計算的配合 在線計算:安全監控和安全分析

潮流計算是電力系統中應用最為廣泛、 最基本和最重要的一種電氣計算。

一.概述

常用的潮流計算方法歸納到數學上屬 于多元非線性代數方程組的求解問題, 一般需采用迭代計算方法進行求解計算。 20 世紀 50 年代中期起,電力系統潮流 計算的研究就是如何使用電子計算機計 算電力系統的潮流問題。

一.概述 對于潮流算法,其基本要求可歸納成 以下四個方面: (1)計算速度; (2)計算機內存占用量; (3)算法的收斂可靠性; (4)程序設計的方便性以及算法擴充 移植等的靈活通用性。 此外,程序使用的方便性及良好的人 -機界面也越來越受到人們的關注。

二.潮流計算問題的數學模型
電力系統由發電機、變壓器、輸配電 線路及負荷等組成。 進行潮流計算時,發電機和負荷一般 可用接在相應節點上的一個電流注入量 表示。 電力網絡中的變壓器、線路、電容器、 電抗器等元件可用集中參數表示的由線 性電阻、電抗構成的等值電路模擬。

二.潮流計算問題的數學模型
對這樣的線性網絡一般采用節點電壓 法進行分析。節點電壓與節點注入電流 之間的關系為:



YU ? I

?

?

U ? Z I

?

?

二.潮流計算問題的數學模型 展開為

?Y
j ?1

n

ij

U j ? Ii
n ?

?

?

?i ? 1,2,?, n?
?i ? 1,2,?, n?



U i ? ? Z ij I j
j ?1

?

二.潮流計算問題的數學模型
在實際中,已知的節點注入量往往不 是節點電流而是節點功率,為此用節點 功率代替節點電流,得 n ? Pi ? jQi (1-6) ? ? Y U ? i ? 1 , 2 , ? , n ? ij j
j ?1
?

Ui
?

?



U i ? ? Z ij
j ?1

n

Pj ? jQ j Uj

?i ? 1,2,?, n?

(1-7)

二.潮流計算問題的數學模型
上兩式是潮流計算問題的基本方程式, 是一個以節點電壓為變量的非線性代數 方程組。而采用節點功率作為節點注入 量是造成方程組呈非線性的根本原因。 由于方程組為非線性的,因此必須采用 迭代方法進行數值求解。 根據對方程組的不同處理方式,形成 了不同的潮流算法。

二.潮流計算問題的數學模型 對于電力系統中的每個節點,需要P、 Q 、U和相角四個變量才能確定其運行 狀態。n個節點總共有4n個運行變量。 而基本方程式只有n個,將實部與虛部分 開,則形成2n個實數方程式,僅可解得 2n個未知運行變量。必須將另外2n個變 量作為已知量而預先給定。也即對每個 節點,要給定兩個變量為已知條件,而 另兩個變量作為待求量。

二.潮流計算問題的數學模型
根據電力系統的實際運行條件,按照 預先給定的變量的不同,電力系統的節 點可分成PQ節點、PV節點及平衡節點三 種類型。 對平衡節點來說,其電壓相角一般作 為系統電壓相角的基準。

二.潮流計算問題的數學模型
交流電力系統中的復數電壓變量可 以用兩種坐標形式表示



Ui ? Uie
?

?

j?

U i ? ei ? jf i

而復數導納為

Yij ? Gij ? jBij

二.潮流計算問題的數學模型

將以上三式代入以導納矩陣為基礎的 式(1-6),并將實部與虛部分開,可得 到兩種形式的潮流方程。

二.潮流計算問題的數學模型
直角坐標形式
Pi ? ei ? (Gij e j ? B ij f j ) ? f i ? (Gij f j ? B ij e j )
j?i j?i

?i ? 1,2,?, n? (1-11) ?i ? 1,2,?, n? (1-12)
?i ? 1,2,?, n?(1-13)

Qi ? f i ? (Gij e j ? B ij f j ) ? ei ? (Gij f j ? B ij e j )
j?i j?i

極坐標形式
j?i

Pi ? U i ?U j (Gij cos? ij ? Bij sin ? ij )
j?i

Qi ? Ui ?U j (Gij sin ?ij ? Bij cos?ij )

?i ? 1, 2,

, n ? (1-14)

二.潮流計算問題的數學模型
若以p、u、x分別表示擾動變量、控 制變量、狀態變量,則潮流方程可以用 更簡潔的方式表示為 f ( x, u, p) ? 0 (1-15) 根據式(1-15),潮流計算的含義就是 針對某個擾動變量p,根據給定的控制 變量u,求出相應的狀態變量x。

三.潮流計算的幾種基本方法
一 高斯-塞德爾法 以導納矩陣為基礎,并應用高斯-塞 德爾迭代的算法是電力系統應用最早的 潮流計算方法。

三.潮流計算的幾種基本方法 討論電力系統中除1個平衡節點外,其 余都是PQ節點的情況。 由式(1-6)可得 (1-16) Qi 為已知的節點注入有功、無 式中:Pi 、 功功率。
? ? n ? 1 ? Pi ? jQi ? Ui ? ? Y U ? ij j ? ? Yii ? U j ?1 ? ? i j ?i ? ?
?

?i ? 1,2,?, n?

三.潮流計算的幾種基本方法 假定節點 l 為平衡節點,其給定電壓 為 U 。平衡節點不參加迭代。于是對應 于這種情況的高斯-塞德爾迭代格式為
? s 1

U i?

?

k ?1?

(1-17) 上式是該算法最基本的迭代計算公式。 ? ? 其迭代收斂的判據是 maxU ?k ?1? ? U ?k ? ? ?
i i i

? ? ? ? ? i ?1 n 1 ? Pi ? jQi s ( k ?1) (k ) ? ? ? Y U ? ( Y U ? Y U ?i ? 2,3, , n ? ? ? i1 1 ij i ij i ? ? ? Yii j ?2 j ?i ?1 (k ) U ? ? ? i ?

三.潮流計算的幾種基本方法
本算法的突出優點是原理簡單,程序設 計容易。導納矩陣對稱且高度稀疏,因 此占用內存非常節省。 該算法的主要缺點是收斂速度慢。 由于各節點電壓在數學上松散耦合,所 以節點電壓向精確值的接近非常緩慢。 另外,算法的迭代次數隨著網絡節點數 的增加而上升,因此在用于較大規模電 力系統的潮流計算時,速度顯得非常緩 慢。

三.潮流計算的幾種基本方法
為提高算法收斂速度,常用的方法是 在迭代過程中加入加速因子? ,即取
U i?k ?1?
? ? ? ? ?k ? '? k ?1? ?k ? ? ? Ui ? ?? ?Ui ? ?U i ? ? ? ?
? ' k ?1 i

U ? ? 是通過式(1-17)求得的節點 式中: i電壓的第k+1次迭代值; 是修正后 U 節點i電壓的第k+1次迭代值;? 為加速 因子,一般取 1 ? ? ? 2 。
?

?k ?1?

i

三.潮流計算的幾種基本方法
對于具有下述所謂病態條件的系統,高 斯-塞德爾迭代法往往會發生收斂困難: (l)節點間相位角差很大的重負荷系統; (2)包含有負電抗支路(如某些三繞組變 壓器或線路串聯電容等)的系統; (3)具有較長的輻射形線路的系統; (4)長線路與短線路接在同一節點上,而 且長短線路的長度比值又很大的系統。 此外,選擇不同的節點為平衡節點,也 會影響到收斂性能。

三.潮流計算的幾種基本方法
為克服基于節點導納矩陣的高斯-塞 德爾迭代法的這些缺點,20世紀60年代 初提出了基于節點阻抗矩陣的高斯-塞 德爾迭代法。但在牛頓法潮流出現后, 即很少再被便用。 目前基于節點導納矩陣的高斯-塞德 爾法主要為牛頓法等對于待求量的迭代 初值要求比較高的算法提供初值,一般 只需迭代1~2次就可以滿足要求。

三.潮流計算的幾種基本方法
二 牛頓-拉夫遜法 (一)牛頓-拉夫遜法的一般概念 牛頓-拉夫遜法在數學上是求解非線性代 數方程式的有效方法。其要點是把非線 性方程式的求解過程變成反復地對相應 的線性方程式進行求解的過程,即通常 所稱的逐次線性化過程。

牛頓法解非線性方程
原理:將非線性方程線性化 —— Taylor 展開 取 x0 ? x*,將 f (x)在 x0 做一階Taylor展開: f ??(? ) ? ? ? ? f ( x ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 )( x ? x0 ) ? ( x ? x0 , )2 ? 在 x0 和 x* 之間。 2! 將 (x* ? x0)2 看成高階小量,則有:
0 ? f ( x*) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x * ? x0 ) y
? x* ? x0 ? f ( x0 ) f ?( x0 )

線性 x ? x ? f ( xk ) k 迭代公式: k ?1 f ?( xk ) x* x
x1 x0

牛頓-拉夫遜法
將非線性代數方程組 f ( x) ? 0 (1-22) 在待求量 x 的某一個初始估計值 x ( 0)附 近,展開成泰勒級數并略去二階及以上 的高階項,得到線性化方程組 (0) (0) (0) ? f ( x ) ? f ( x )?x ? 0 (1-24) 稱為牛頓法的修正方程式。

牛頓-拉夫遜法
由上式根據初值 x ( 0 ) 可求得第一次迭 代的修正量 (0) (0) ?1 (0) ?x ? ?[ f ?( x )] f ( x ) (1-25) 將 ?x ( 0) 和 x ( 0 ) 相加,得到變量的第一次 改進值 x (1) 。

牛頓-拉夫遜法
因此,應用牛頓法求解的迭代格式為 (k ) (k ) (k ) ? f ( x )?x ? ? f ( x ) (1-26) ( k ?1) (k ) (k ) (1-27) x ? x ? ?x 上兩式中: f ?( x) 是函數 f ( x) 對于 x 的 k 一階偏導數矩陣,即雅可比矩陣 J ,為 迭代次數。 (0) x 牛頓法當初值 和方程的精確解足 夠接近時,具有平方收斂特性。

牛頓-拉夫遜法
(二)牛頓潮流算法的修正方程式 將牛頓法用于求解電力系統潮流計算問 題時,由于所采用的數學表達式以及復 電壓變量采用的坐標形式的不同,可以 形成牛頓潮流算法的不同形式。 f ( x) 以下討論用得最廣泛的 采用功率 方程式模型,而電壓變量分別采用極坐 標和直角坐標的兩種形式。

牛頓-拉夫遜法
1 極坐標形式 令U ? U ?? ,對每個 根據式(1-13),有
? i i i

PQ 節點及 PV

節點,

(1-28) 對每個 PQ 節點,根據式(1-14),有 Qi ? U i ?U j (Gij sin ? ij ? Bij cos? ij ) ? ?Qi ? 0 (1-29) j?i
j?i

Pi ? U i ?U j (Gij cos? ij ? Bij sin ? ij ) ? ?Pi ? 0

牛頓-拉夫遜法 將上述方程式在某個近似解附近用泰 勒級數展開,略去二階及以上的高階項 后,得到以矩陣形式表示的修正方程式 (1-30) m 為 PV 節點數, n 為節點個數, 式中: 雅可比矩陣是 ?2n ? m ? 2? 階非奇異方陣。
? ?P ? ?H ? ? ? ?? ?M n ? m ?1 ? ? ?Q ? ? n ?1 N ? ? ?? ? n ? 1 ? ? ? L?? ? ?U U ? ? n ? m ?1

牛頓-拉夫遜法 雅可比矩陣各元素的表示式如下:
??Pi ? ?UiU j (Gij sin ?ij ? Bij cos? ji ) ( j ? i) Hij ? ?? 2 ( j ? i) ?? j ?Ui Bii ? Qi ??UiU j (Gij cos ?ij ? Bij sin ?ij ) (j ? i) ??Pi Nij ? ?U j ? ? 2 (j ? i) ?U j ??U i Gii ? Pi
??Qi M ij ? ?? j ?U iU j (Gij cos ?ij ? Bij sin ?ij ) ?? 2 ?U i Gii ? Pi (j ? i) (j ? i)

(1-31) (1-32)? (1-33) (1-34)
(1-35) (1-36)

??UiU j (Gij sin ?ij ? Bij cos ?ij ) ??Qi Lij ? ?U j ? ? 2 ?U j ?U i Bii ? Qi

(j ? i) (j ? i)

(1-37) (1-38)

牛頓-拉夫遜法 2 直角坐標形式 ? 令 U i ? ei ? jf i ,此時每個節點,都有兩 個方程式。因此共有 2(n ?1) 個方程式。 PQ 節點,根據式(1-11)和式 對每個PQ (1-12)有: P ? ?? ?e (G e ? B f ) ? f (G f ? B e )? ? ? ?P ? 0 (1-39)
i j?i i ij j ij j i ij j ij j i

Qi ? ? ? ? fi (Gij e j ? Bij f j ) ? ei (Gij f j ? Bij ei )? ? ? ?Qi ? 0
j?i

(1-40)

牛頓-拉夫遜法 對每個 PV 節點,除了有與式(1-39) 相同的有功功率方程式之外,還有 2 2 2 2 Ui ? (ei ? fi ) ? ?Ui ? 0 (1-41) 采用直角坐標形式的修正方程式為
? ? ? ?P ? ?H ? ? n ? m ? 1 ? ?Q ? ? ? ? M ? ? ? ? R 2 ? m ?U ? ? ? ? n ?1 N? L? ? S? ? ? ?e ? n ? 1 ? ? ? ? ?f ? ? n ?1

(1-42)

牛頓-拉夫遜法 雅可比矩陣各元素的表示式如下:
?(Gij ei ? Bij fi ) ? ??P ? i Hij ? ? ? ? (G e ? B f ) ? G e ? B f ij j ii i ii i ?e j ? ? ij j j ? i ? Bij ei ? Gij fi ? ??P ? i Nij ? ? ?? (G f ? B e ) ? B e ? G f ? ij j ij j ii i ii i ?f j ? j ? i ? B e ? Gij fi ??Qi ? ? ij i M ij ? ? ? (G f ? B e ) ? B e ? G f ? ij j ij j ii i ii i ?e j ? j ? i ? G e ? Bij fi ??Qi ? ? ij i Lij ? ? ?? (G e ? B f ) ? G e ? B f ? ij j ij j ii i ii i ?f j ? j ? i ? (j ? i) (j ? i) (j ? i) (j ? i) (j ? i) (j ? i) (1-43) (1-44) (1-45) (1-46) (1-47) (1-48)

(j ? i) (j ? i)

(1-49) (1-50)

牛頓-拉夫遜法

??U i2 ?0 Rij ? ?? ?e j ? ?2ei ??U i2 ?0 Sij ? ?? ?f j ? ?2 fi

(j ? i) (j ? i)
(j ? i) ( j ? i)

(1-51) (1-52)
(1-53) (1-54)

牛頓-拉夫遜法
分析以上兩種類型的修正方程式, 可以看出兩者具有以下的共同特點。 (1) 修正方程式的數目分別為 2?n ? 1? ? m 及 2?n ? 1?個,在 PV 節點比例不大時,兩 者的方程式數目基本接近 2?n ? 1? 個。 (2) 雅可比矩陣的元素都是節點電壓 的函數,每次迭代,雅可比矩陣都需要 重新形成。

牛頓-拉夫遜法 (3) 從雅可比陣非對角元素的表示式 可見,某個非對角元素是否為零決定于 相應的節點導納矩陣元素 Y 是否為零。 如將修正方程式按節點號的次序排列, 并將雅可比矩陣分塊,把每個2 ? 2 階子 陣? ? H ij N ij ? ? H ij N ij ? ? 作為分塊矩陣的 ? ?
ij

如? ? M ij ? ?

?R Lij ? ? ? ij

等 ? S ij ? ? ?

元素,則按節點號順序而構成的分塊雅 可比矩陣將和節點導納矩陣具有同樣的 稀疏結構,是一個高度稀疏的矩陣。

牛頓-拉夫遜法
(4) 和節點導納矩陣具有相同稀疏結 構的分塊雅可比矩陣在位置上對稱,但 由于 H ij ? H ji , Nij ? N ji , M ij ? M ji , Lij ? L ji , 所以雅可比矩陣不是對稱陣。 修正方程式的這些特點決定了牛頓法 潮流程序特點,在設計算法時應重點考 慮。

牛頓-拉夫遜法
(三)修正方程式的處理和求解 有效地處理修正方程式是提高牛頓法潮流程 序計算速度并降低內存需求量的關鍵。 結合修正方程式的求解,目前實用的牛頓 法潮流程序的程序特點主要有以下三個方面, 這些程序特點對牛頓法潮流程序性能的提高起 著決定性的作用。 1 對于稀疏矩陣,在計算機中只儲存其非 零元素,且只有非零元素才參加運算。

牛頓-拉夫遜法
2 修正方程式的求解過程,采用對包 括修正方程常數項的增廣矩陣以按行消 去的方式進行消元運算。由于消元運算 按行進行,因此可以邊形成增廣矩陣, 邊進行消元運算,邊存儲結果,即每形 成增廣矩陣的一行,便馬上進行消元, 并且消元結束后便隨即將結果送內存存 儲。

牛頓-拉夫遜法
3 節點編號優化。經過消元運算得到 的上三角矩陣一般仍為稀疏矩陣,但由 于消元過程中有新的非零元素注入,使 得它的稀疏度比原雅可比矩陣有所降低。 分析表明,新增非零元素的多少和消元 的順序或節點編號有關。

牛頓-拉夫遜法 節點編號優化的作用即在于找到一種 網絡節點的重新編號方案,使得按此構 成的節點導納矩陣以及和它相應的雅可 比矩陣在高斯消元或三角分解過程中新 增的非零元素數目能盡量減少。

牛頓-拉夫遜法 節點編號優化通常有三種方法: (1) 靜態法―按各節點靜態連接支路數 的多少順序編號。由少到多編號; (2) 半動態法一按各節點動態連接支路 數的多少順序編號; (3) 動態法一按各節點動態增加支路數 的多少順序編號。 消去節點后出現新支路數最少的節點。

牛頓-拉夫遜法
三種節點編號優化方法中動態法效果 最好,但優化本身所需計算量也最多, 而靜態法則反之。對于牛頓法潮流計算 來說,一般認為,采用半動態法似乎是 較好的選擇。

牛頓-拉夫遜法
啟動 輸入原始數據 節點編號優化 形成導納矩陣 置初值 停機 輸出結果 計算支路潮流

K=0 k=k+1 T=0 i=1 i>n
> ≯ 形成與節點i有關的雅可比矩陣增廣陣的 兩行元素
?P i , ?Qi ? ? ?



T=0?



回代并修正電壓





T=T+1

利用已完成消元運算的從1到2(i-1)行元素對2i-1及2i行進行消元 運算

i=i+1

牛頓-拉夫遜法
(四)牛頓潮流算法的特點 1)其優點是收斂速度快,若初值較好, 算法將具有平方收斂特性,一般迭代4~5 次便可以收斂到非常精確的解,而且其迭 代次數與所計算網絡的規模基本無關。 2)牛頓法也具有良好的收斂可靠性,對 于對高斯-塞德爾法呈病態的系統,牛頓 法均能可靠地斂。

牛頓-拉夫遜法 3) 初值對牛頓法的收斂性影響很大。 解決的辦法可以先用高斯-塞德爾法迭代 1 ~ 2 次,以此迭代結果作為牛頓法的初 值。也可以先用直流法潮流求解一次求 得一個較好的角度初值,然后轉入牛頓 法迭代。

三.潮流計算的幾種基本方法 三 P-Q分解法 隨著電力系統規模的日益擴大以及在線 計算的要求,為了改進牛頓法在內存占 用量及計算速度方面的不足,人們開始 注意到電力系統有功及無功潮流間僅存 在較弱聯系的這一特性,于是產生了一 類具有有功、無功解耦迭代計算特點的 算法。

P-Q分解法
在70年代提出的P-Q分解法是在廣泛的 數值試驗基礎上挑選出來的最為成功的 一個算法,它無論在內存占用量以及計 算速度方面,都比牛頓法有較大的改進, 從而成為當前國內外最優先使用的算法。

P-Q分解法
(一) P-Q分解法原理 由于交流高壓電網中輸電線路等元件 的 x ?? r ,因此有功功率的變化主要決定 于電壓相位角的變化,而無功功率的變化 則主要決定于電壓模值的變化。這個特性 反映在牛頓修正方程式的元素上,是N及M 二個子塊元素的數值相對于H、L二個子塊 的元素要小得多。

P-Q分解法 簡化的第一步,將N、M略去不計,得 到如下巳經解耦的方程組 ?P ? ? H?? (1-55) ?Q ? ? L(?U / U ) (1-56) 這一簡化將原來 2?n ? 1? ? m 階的方程組分 解為兩個分別為n ? 1 階和 n ? m ? 1 階的較 小的方程組,顯著地節省了內存需求量 和解題時間。但H和L的元素仍然是節點 電壓的函數且不對稱。

P-Q分解法 進一步并且是很關鍵的簡化基于在實際 的高壓電力系統中,下列的假設一般都 能成立。 (1) 線路兩端的相角差不大(小于 10? ~ 20? ),而且 G ?? B ,可以認為 cos? ij ? 1 ;Gij sin ? ij ?? Bij (1-57) 2 Q / U (2) 與節點無功功率對應的導納 i i 通常遠小于節點的自導納 B ,即 Qi ?? U i2 Bii (1-58)
ij ij

ii

P-Q分解法 計及上兩式后,H及L各元素表示式可簡 化為 H ij ? U iU j Bij (l-59) Lij ? U iU j Bij (1-60) 于是H和L可表示成 H ? UB?U (1-61) L ? UB??U (l-62) 式中:U是由各節點電壓模值組成的對角 / // B 及 B 陣。由于PV節點的存在, 的階數 不同,分別為 n ? 1階和 n ? m ? 1 階。

P-Q分解法

P-Q分解法
P-Q分解法的修正方程式

P-Q分解法
將式(1-61)和式(1-62)代入式(1-55)和 式(1-56),得 ?P / U ? ? B?(U ?? ) (l-63) ?Q / U ? ? B???U (1-64) / // B 及 B 這兩式中的系數矩陣 由節點導納 矩陣的虛部所組成,從而是一個常數且 對稱的矩陣。

P-Q分解法
為加速收斂,目前通用的P-Q分解法又 / 對 B 的構成作了進一步修改。 (l) 在形成 B? 時略去那些主要影響無功 功率和電壓模值,而對有功功率及電壓 角度影響很小的因素。這些因素包括: 輸電線路的充電電容以及變壓器非標準 變比。

P-Q分解法 (2) 為減少在迭代過程中無功功率及節點 電壓模值對有功迭代的影響,將式(163)右端U的各元素均置為標么值1.0, 即令U為單位陣。 (3)在計算 B? 時,略去串聯元件的電阻。

P-Q分解法 于是,目前通用的P-Q分解法的修正方 程式可寫成 ?P / U ? B??? (l-65) ?Q / U ? B???U (l-66) B? 與 B ?? 不僅階數不同,而且其相應元 素的構成也不相同,具體計算公式為:

P-Q分解法
B ? ? 1 xij ;
' ij

B ??
" ij

xij r ?x
2 ij 2 ij

? Bij ;

? ? j?i j?i j?i j?i ? ? x ij " ? Bii ? ? Bio ? ? 2 ? ? B ii 2 r ? x ? j?i ij ij j?i ?
' ii ' ij

B ? ? ? B ? ? 1 xij

Bij B'ij B''ij

:為節點導納矩陣元素
:為網絡元件阻抗

rij xij

P-Q分解法
(二) P-Q分解法的特點: (1)用解兩個階數幾乎減半的方程組 ( n ? 1 階和 n ? m ? 1 階)代替牛頓法的解 一個 2?n ? 1? ? m 階方程組,顯著地減少了 內存需求量及計算量。圖1-3 牛頓法和 P-Q分解法的典型收斂特性

P-Q分解法
100
功率誤差
NR

10 ?1

10?2
10
?3

FDLF

10 ?4

10?5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 迭代次數

圖1-3 牛頓法和P-Q分解法的典型收斂特性 NR-牛頓法;FDLF-P-Q分解法

P-Q分解法
(2)牛頓法每次迭代都要重新形成雅 可比矩陣并進行三角分解,而P-Q分解 ' " B 和 B 是常數陣,因此只 法的系數矩陣 需形成一次并進行三角分解組成因子表, 在迭代過程可以反復應用,顯著縮短了 每次迭代所需的時間。

P-Q分解法
(3)雅可比矩陣 J 不對稱,而 B ' 和 B " 都是對稱陣,為此只要形成并貯存因子 表的上三角或下三角部分,減少了三角 分解的計算量并節約了內存。 由于上述原因,P-Q分解法所需的內存 量約為牛頓法的60%,而每次迭代所需時 間約為牛頓法的1/5。

啟動

輸入原始數據 形成 B ? 形成
B?

P-Q分解法
? B?

因子表

形成導納矩陣及 形成 B?? 因子表

賦初值

迭代次數K=0 KP=KQ=1
計算 ?P / U
max ?P ?? ? i / Ui
i

KP=0
是 KQ=0? 否 計算支路潮流輸出結果 是

求解?P / U ? B??? 并修正?

KQ=1 k=k+1
計算?Q / U

max ?Qi / U i ? ? ?
i

KQ=0


停機

?? U 并 修 正 U 求 解 ?Q / U ? B ?

KP=0?


KP=1

P-Q分解法 (三)元件 R X 大比值病態問題 從牛頓法到P-Q分解法的演化是在元件 R ?? X 以及線路兩端相角差較小等簡化基 礎上進行的,因此當系統存在不符合這 些假設的因素時,就會出現迭代次數增 加甚至不收斂的情況。

P-Q分解法 這其中以出現元件大 R X 比值的情景最 多,如低電壓網絡,某些電纜線路,三 繞組變壓器的等值電路以及通過某些等 值方法所得到的等值網絡等均會出現大 部分或個別支路 R X 比值偏高的問題。 大 R X 比值病態問題已成為P-Q分解法 應用中的一個最大障礙。

P-Q分解法
解決這個問題的途徑主要有以下兩種。 對大 R X 比值支路的參數加以補償 對算法加以改進 1 對大 R X 比值支路的參數加以補償 對大 R X 比值支路的參數加以補償,又 分成串聯補償法及并聯補償法兩種。

P-Q分解法 (1) 串聯補償法 這種方法的原理見圖1-6,其中 m 為增 ? jX c 為新增的補償電容。 加的虛構節點, X 數值的選擇應滿足 i ? m 支路( X ? X c ) ?? R 的條件。
c

P-Q分解法

R ? jX

R ? j ( X ? Xc ) ? jXc

i
(a)

j

i
(b)

m

j

圖1-6 對大R/X比值支路的串聯補償 (a) 原支路;(b) 補償后的支路

P-Q分解法

這種方法的缺點是如果原來支路的 R X 比值非常大,從而使 X c 的值選得過大時, m 新增節點 的電壓值有可能偏離節點 j 及 i 的電壓很多,這種不正常的電壓將 導致潮流計算收斂緩慢,甚至不收斂。

P-Q分解法 (2)并聯補償法。 如圖1-7所示,經過補償的 i ? j 支路的 等值導納為
Yij ? G ? j ( B ? B f ) ? 1 1 1 ( ? ) ? 2 jB f ? 2 jB f
?

? G ? jB

仍等于原來 i ? j 支路的導納值。 并聯補償新增節點 m 的電壓 U 不論 B 的 取值大小都介于 i ? j 支路兩端電壓之間, 不會產生病態的電壓現象。
m

f

P-Q分解法

G ? j(B ? B f )

G ? jB

i
(a)

j

i

? 2B f m ? 2B f
(b)

j

圖1-7 對大R/X比值支路的井聯補償 (a) 原支路;(b) 補償后支路

P-Q分解法 2 對算法加以改進 為了克服P-Q分解法在處理大 R X 比值問 題上的缺陷,許多研究工作立足于對原 有算法加以改進,希望能找到一種方法, 既能保待P-Q分解法的基本優點,又能 R X 克服大 比值問題帶來的收斂困難。

P-Q分解法 提出的這一類算法中,基本上保留了 原來P-Q分解法的框架,但對修正方程 式及其系數矩陣的構成作出各種不同的 修改。

P-Q分解法 下面介紹一種較常用的方法。前面提到, B? 在構成 的元素時不計串聯元件的電阻, X B ?? 僅用其電抗值( ),而在形成 的元素 B 時則仍用精確的電納值( ),稱之為 XB 方案。與此相對應,組成P-Q分解法 XX 方案。在不同 BX 還可以有 、 和 BB 的試驗網絡上進行的大量計算實踐表明, R X BB 處理大 比值問題上的能力以方案 最 差, 方案稍好, 方案最好。 BX

P-Q分解法
BX 方案采用的是嚴格的 P ? ? , Q ? U

交替迭代方案,這也是該算法和現在通 行的 XB 方案的標準型P-Q分解法的第二 個差別。新算法若仍采用老的迭代方案, 將會出現周期性的使功率偏差不再下降 PQQ ,… PQQ , PQQ 的 , 循環迭代過程。

P-Q分解法 為解決大 R X 比值病態問題,參數補償 和改進算法這兩種途徑各有利弊。使用補 償法要增加一個節點,當網絡中大 R X 比 值的元件數目很多時將使計算網絡的節點 數增加很多。采用改進算法不存在這個問 題。但目前已提出的一些改進算法并不能 完全免除對元件 R X 比值的敏感性。當某 個元件的比值特別高時,算法所需的迭代 次數仍將急劇上升或甚至發散。

四.保留非線性潮流算法 牛頓法求解潮流采用的是逐次線性化方 法。20世紀70年代后期,人們開始考慮采 用更精確的數學模型,將泰勒級數的高階 項考慮進來,以提高算法的收斂性能及計 算速度,于是便產生了一類稱之為保留非 線性的潮流算法。因為其中大部分算法主 要包括了泰勒級數的前三項即取到泰勒級 數的二階項,所以也稱為二階潮流算法。

四.保留非線性潮流算法
這種想法的第一個嘗試是在極坐標形式 的牛頓法修正方程式中增加了泰勒級數的 二階項,所得算法對收斂性能略有改善, 但計算速度無顯著提高。后來,人們根據 直角坐標形式的潮流方程是一個二次代數 方程組的這一特點,提出了采用直角坐標 的保留非線性快速潮流算法,在速度上比 牛頓法有較大提高,引起了廣泛重視。

四.保留非線性潮流算法
此后又出現了一些計入非線性的其它 潮流算法。這些算法除了作為常規的潮 流計算工具之外,在狀態估計、最優潮 流等其它計算中也得到應用。 以下介紹兩種保留非線性的快速潮流算 法。

四.保留非線性潮流算法
一 保留非線性快速潮流算法 (一)數學模型 采用直角坐標形式的潮流方程為:

Pi ? ? (Gij ei e j ? Bij ei f j ? Gij f i f j ? Bij f i e j ) ? ? j?i ? Qi ? ? (Gij fi e j ? Bij fi f j ? Gij ei f j ? Bij ei e j ) ? j?i ?(1-68) ? U i2 ? ei2 ? fi 2 ?

是一個不含一次項的二次代數方程組。

四.保留非線性潮流算法 對這樣的方程組用泰勒級數展開,只 要取三項就能夠得到一個沒有截斷誤差 的精確展開式。因此從理論上,若能從 這個展開式設法求得變量的修正量,并 用它對初值加以修正,則只要一步就可 求得方程組的解。

四.保留非線性潮流算法
為推導方便,將上述潮流方程寫成更普 遍的齊次二次方程的形式。這里先定義: n維未知變量向量
x ? [ x1 , x2 ,?, xn ]T

n維函數向量
y( x) ? [ y1 ( x), y2 ( x),?, yn ( x)]T

n維函數給定值向量
s s T y s ? [ y1s , y2 ,?, yn ]

四.保留非線性潮流算法 一個具有 n 個變量的齊次二次代數方 程式的普遍形式為 yi ( x) ? [(a11 )i x1 x1 ? (a12 )i x1 x2 ? ? (a1n )i x1 xn ] ? [(a21 )i x2 x1 ? (a22 )i x2 x2 ? ? (a2n )i x2 xn ] ? ? [(an1 )i xn x1 ? (an 2 )i xn x2 ? ? (ann )i xn xn ]
(1-69)

四.保留非線性潮流算法 于是潮流方程組可以寫成如下的矩陣形式:
? x1 x ? ? ? ? ? ? x2 x ? ? ? s y ? y ( x) ? A ? ? ? ? ? ? ? ? ? x x? ? n ?

(1-70)


f ( x) ? y( x) ? y ? 0
s

(1-71)

四.保留非線性潮流算法
式(1-70)中,系數矩陣為:
? (a11 )1 (a12 )1 ?(a ) (a ) A ? ? 11 2 12 2 ? ? ?(a11 )n (a12 )n (a1n )1 (a21 )1 (a22 )1 (a1n )2 (a21 )2 (a22 )2 (a1n )n (a21 )n (a22 )n (a2 n )1 (a2 n )2 (a2 n )n (an1 )1 (an2 )1 (an1 )2 (an2 )2 (an1 )n (an 2 )n (ann )1 ? (ann )2 ? ? ? ? (ann )n ?

(1-72)

四.保留非線性潮流算法
(二)泰勒級數展開式 對式(1-69)在初值附近展開,可得到沒 有截斷誤差的精確展開式為:
2 n n ? y ? yi 1 s (0) i y ? y( x ) ? ? ?x j ? ?? ?x j ?xk (0) (0) 2 !j ?1 k ?1 ?x j ?xk x ? x j ?1 ?x j x ? x n



? ?x1 ? ?x 1 y s ? y ( x (0) ) ? J ?x ? H ? 2 2 ? ? ? ?xn

?x ? ?x ? ? ? ? ?x ?

(1-73)

(1-74)

四.保留非線性潮流算法
式中:
?x ? [ x ? x (0) ] ? [?x1 , ?x2 ,?, ?xn ]T

為修正量向量。
? ?y1 ? ?x ? 1 ? ?y2 ?x J ?? ? 1 ? ? ? ?yn ? ? ?x1 ?y1 ?x2 ?y2 ?x2 ?yn ?x2

?y1 ? ?xn ? ? ?y2 ? ?xn ? ? ? (0) ?x? x ?yn ? ?xn ? ?

J ? R n? n

為雅可比矩陣。

四.保留非線性潮流算法
? ? 2 y1 ? 2 y1 ? 2 y1 ? 2 y1 ? 2 y1 ? 2 y1 ? 2 y1 ? 2 y1 ? 2 y1 ? ? ? ? ? ? ? ? x ? x ? x ? x ? x ? x ? x ? x ? x ? x ? x ? x ? x ? x ? x ? x ? x ? x 2 1 n 2 1 2 2 2 n n 1 n 2 n 2? ? 21 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ? y2 ? y2 ? y2 ? y2 ? y2 ? y2 ? 2 y2 ? ? ? y2 ? y2 ? ? ? ? H ? ? ?x1?x1 ?x1?x2 ?x1?x2 ?x2 ?x1 ?x2 ?x2 ?x2 ?xn ?xn ?x1 ?xn ?x2 ?xn ?xn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? yn ? yn ? yn ? yn ? yn ? yn ? yn ? ? ? yn ? yn ? ?x ?x ?x ?x ? ?x ?x ?x ?x ?x ?x ? ?x ?x ? ?x ?x ?x ?x ? ?x ?x ? 1 n 2 1 2 2 2 n n 1 n 2 n n? ? 1 1 1 2

H ?R

n?n 2

是一個常數矩陣,其階數很高,但高度 稀疏。

四.保留非線性潮流算法 式 (1-74) 的第三項相當復雜,研究表明可 以進一步將式(1-74)改寫成 y s ? y( x (0) ) ? J?x ? y(?x) (1-77) 現證明如下。 ( 0) x x ? x 將 寫成 i i ? ?xi ,于是
i

xi x j ? ( xi(0) ? ?xi )( x (0) j ? ?x j ) ?x x
(0) i (0) j

? x ?x j ? x ?xi ? ?xi ?x j
(0) i (0) j

(1-78)

四.保留非線性潮流算法 將(1-78)式代入式(1-70),則在 式(1-70)可以寫成下面的形式

x ( 0 ) 附近,

? x1( 0) x1( 0) ? ? x1( 0 ) ?x1 ? ??x1 x1( 0 ) ? ??x1 ?x1 ? ? ( 0) (0) ? ? (0) ? ? ? ? (0) ? x x x ? x ? x x ? x ? x 2? ? 1 2 ? ? 1 ? 1 2 ? ? 1 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? s y ? A? ( 0 ) ( 0 ) ? ? A? ( 0 ) ? A? ? ? A? ? (1-79) (0) ? ? xi x j ? ? xi ?x j ? ??xi x j ? ??xi ?x j ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 0) (0) ? ? (0) ? ? ? ? ? (0) ? ? ? ? ? xn xn ? ? ? xn ?xn ? ? ??xn xn ? ? ??xn ?xn ? ?

四.保留非線性潮流算法

式(1-79)和式(1-74)應該完全等價。 分析式(1-79)中的第一項,根據式(170),它是 y( x ) ,和式(1-74)的第一項 相同。
( 0)

四.保留非線性潮流算法
式(1-74)的第二項是向量函數 y( x) 在 處的全微分
?y1 ?y1 ? ?y1 ? ? ?x ?x1 ? ?x ?x2 ? ? ? ?x ?xn ? 2 n ? 1 ? ? y ? y ? y 2 2 ? 2 ?x1 ? ?x2 ? ? ? ?xn ? J?x ? ? ?x1 ? ?x2 ?xn ? ? ? ? ? ? ?y ? ? y ? y n n ? n ?x1 ? ?x2 ? ? ? ?xn ? ?x2 ?xn ? ? ? ?x1 ? x ? x(0)
x (0)

(1-80)

四.保留非線性潮流算法

式(1-70)右端變量列向量中任一元素的 全微分為:
d ( xi x j ) ? ?( xi x j ) ?xi ?xi ? ?( xi x j ) ?x j ?x j ? x j ?xi ? xi ?x j

四.保留非線性潮流算法 根據式(1-70),在 x ( 0 ) 處的全微分也可表 ? x ?x ? ?x x 示為 ? ? ?
?x2 ?x ? A? ( 0 ) ?x j ? xi ? ? (0) ? ? xn ?xn
(0) 1 (0) 1 1 1

此式是式(1-79)的第二和第三項之和。 所以式(1-79)的第二項加上第三項就和 式(1-74)的第二項相等。

? ? (0) ? ? ?xi x j ? ? ? ? (0) ? ?xn x2 ? ?

? ?x1 x ?

(0) 1 (0) 2

(1-81)

四.保留非線性潮流算法 再看式(1-79)的第四項。根據式(170),它可以寫成 y(?x) 的形式,就必然和 式(1-74)的第三項相等。因此泰勒級數 展開式的第三項可以寫成和第一項相同的 (0) ? x x 函數式,僅變量不同,以 取代 而已。 式(1-77) 促成了本算法的突破,因為 可以非常方便地計算二階項。 該式是一個很重要的關系式,今后在研 究其它算法時將多次引用。

四.保留非線性潮流算法
(三)數值計算迭代公式 式(1-77)是以 ?x 為變量的二次代數方程 (0) x 組,從一定的初值 出發,求解滿足 該式的 ?x 仍然要采用迭代的方法。式 (1-77)可改寫成 ?x ? ? J ?1[ y( x(0) ) ? y s ? y(?x)] (1-82) 于是算法的具體迭代公式為: ?x(k ?1) ? ?J ?1[ y( x(0) ) ? y s ? y(?x(k ) )] (1-83)

四.保留非線性潮流算法
( 0) J k 式中:為迭代次數; 按 x ? x 估計而得。
( 0) k ? 0 y ? ( ? x ) ? 0, 進行第一次迭代時, ,令

同牛頓法的第一次迭代計算完全相同。 算法的收斂判據為 max ?x ? ?x ? ? (1-84) 也可以采用 max y ??x ? ? y ??x ? ? ? (1-85) 作為收斂判據。 式(1-85)是比式(1-84)更合理的收斂 判據。
i ( k ?1) i (k ) i

i

i

( k ?1) i

i

(k ) i

四.保留非線性潮流算法
啟動 輸入原始數據 形成節點導納矩陣 賦初值 形成雅可比矩陣 形成

J

J

因子表

k=0
?x ( 0 ) ? 0 y ( ?x ( k
)

計算二階項

)

k=k+1


用式(1-83)求解 ?x ( k ?1)
max
i (k ?xi ?1) (k ? ?xi )

?

?

?


x
( k ?1)

?

x

(0)

? ?x ( k

?1)

計算支路潮流 輸出結果 停機

四.保留非線性潮流算法
(四)算法特點及性能估計 下面同牛頓法進行比較,看保留非線性 快速潮流算法的特點。 s f ( x ) ? y ( x ) ? y ? 0 ,牛頓法 設求解的方程是 的迭代公式是 ?x ? ?( J ( x )) [ y( x ) ? y ]? ? x ? x ? ?x ?(1-86) 保留非線性快速潮流算法的迭代公式是
(k ) (k ) ?1 (k ) s ( k ?1) (k ) (k )

?x ( k ?1) ? ?( J ( x ( 0) ))?1[ y( x ( 0) ) ? y s ? y(?x ( k ) )]? ? ( k ?1) (0) ( k ?1) x ? x ? ?x ?

(1-87)

四.保留非線性潮流算法
f ( x) f ( x)

An
A3

f ( x) ? y ( x) ? y s
A1

A2

A1

B1

A
x (0) ?x (0)

B
x (1 )

C
?x (1) x (2)

x

A
x (0)
?x (1)
?x ( 2)

B C

C1
D

x (1 ) x ( 2 ) x ( 3 )

x

?
?x (n)

(a)

(b)

圖l-9 兩種算法迭代過程的比較
(a)牛頓法迭代過程;(b)保留非線性法迭代過程

四.保留非線性潮流算法 1)由公式(1-86)和式(1-87)可見,保留 ?0 ? x 非線性快速潮流算法采用的是用初值 計算而得的恒定雅可比矩陣,整個計算 過程只需一次形成,可用三角分解構成 因子表。所以每次迭代所需時間可以節 省很多。

四.保留非線性潮流算法 2) 兩種算法的 ?x 含義不同。牛頓法的 ?x ( k ) (k ) x 是相對于上一次迭代所得到的迭代點 的修正量;而保留非線性快速潮流算法 的 ?x 則是相對于始終不變的初始估計 值 x 的修正量。 3) 保留非線性快速潮流算法達到收斂 所需的迭代次數比牛領法要多,但由于 每次迭代所需的計算量比牛頓法節省很 多,所以總的計算速度比牛頓法可提高 很多。
(k )
(0)

四.保留非線性潮流算法 4)由于不具對稱性質的雅可比矩陣經 三角分解后,其上下三角元素都需要保 存,和牛頓法的一種方案僅需保存上三 角元素相比,此算法所需的矩陣存儲量 將比要牛頓法增加35%~40%。 5)由于利用以初始值計算得到的恒定 雅可比矩陣進行迭代,初始值的選擇對 保留非線性快速潮流算法的收斂特性有 很大影響。

四.保留非線性潮流算法 (五)具有更廣泛意義的通用迭代公式 以上討論的算法限于采用直角坐標形式 的模型,并且所求解的方程組還限于是 不含變量一次項的二次代數方程組。下 面討論適用于任意坐標形式的、并且對 f ?x ? 的數學性質沒有限制的普遍情況, 推導相應的具有更廣泛意義的通用迭代 公式。

四.保留非線性潮流算法 二 直角坐標形式包括二階項的快速潮 流算法 前面介紹的保留非線性快速潮流算法較 之牛頓法在計算速度上有較多提高,但 和 P-Q 分解法相比,計算速度仍顯遜色, 且內存需求量也大得多。

四.保留非線性潮流算法 因此研究并開發在內存需求量和計算速 度方面能接近 P-Q 分解法,但對某些病 態系統(如大 R X 比值或串聯電容支路 等)的計算又勝于后者的算法一直是研 究人員所追求的目標。下面介紹的采用 直角坐標的包括二階項的算法是基本具 有上述特點的算法。

四.保留非線性潮流算法 (一)數學模型 采用直角坐標的潮流方程式為 (1-113) Q ? ?? ? f (G e ? B f ) ? e (G f ? B e ) ? ? (l-114) (l-115) U ? (e ? f ) 先研究電力系統中除一個平衡節點外, 其余節點均屬節點的情況。
i i ij j ij j i ij j ij j j?i

P ? ?? ?e (Ge ? B f ) ? f (G f ? Be )? ?
i j?i i ij j ij j i ij

j

ij

i

2 i

2 i

2

i

四.保留非線性潮流算法 為使計算過程簡化,直角坐標形式包括 二階項的快速潮流算法的第一個特點是 改造導納矩陣的對角元素,即將各節點 的對地并聯支路(如線路充電電容、并 聯電容器及并聯電抗器、非標準變比變 壓器等值電路的對地支路等)從導納矩 陣的對角元素中分離出來,并作為節點 的一個恒定阻抗來處理。

四.保留非線性潮流算法
于是有
Gii ? ?? Gij ? ? j?i j ?i ? ? Bii ? ?? Bij ? j?i ? j ?i ?

(l-116)

四.保留非線性潮流算法 節點功率方程式(l-113)、式(l-114)就 變成 P ? g (e ? f ) ? ?[e (G e ? B f ) ? f (G f ? B e )] (1-117) Q ? b (e ? f ) ? ?[ f (G e ? B f ) ? e (G f ? B e )] (1-118) g 、b 分別表示節點 i 的對地支路電 式中: 導及電納,而 G 及B 根據式(l-116)計算 而得。
i i0 2 i 2 i j?i i ij j ij j i ij j ij j
i i0 2 i 2 i j?i i ij j ij j i ij j ij j

i0

i0

ii

ii

四.保留非線性潮流算法 把式(l-117)、式(l-118)的左端項分別 P 及Q 記為 ,即 Pi / ? Pi ? Gi 0 (ei2 ? f i 2 ) (l-119) Qi/ ? Qi ? Bi 0 (ei2 ? f i 2 ) (1-120)
/ i / i

四.保留非線性潮流算法 將式(l-117)、式(l-118)的右端項分別 Pi (e,f )、Qi (e,f ) ,并在給定的電壓 記為 初值附近展開成泰勒級數,于是有
? ?Pi ? ? P i Pi (e,f ) ? Pi (e ,f ) ? ? ? ?e j ? ?f j ? ? sPi ? ? ?f j j?i ? ?e j ? (l-121) ? ?Qi ? ?Qi (0) (0) ? Qi (e,f ) ? Qi (e , f ) ? ? ?e j ? ?f j ? ? sQi ? ? ?f j j?i ? ?e j ? (1-122)
(0) (0)

sP 及sQ 為相應的二階項,式(l-121) 式中: 及式(l-122)是沒有截斷誤差的表示式。
i i

四.保留非線性潮流算法 直角坐標形式包括二階項的快速潮流算 法使計算過程簡化的第二個特點是所有 節點電壓的初值都取為平衡節點的電壓
ei(0) ? jf i (0) ? es ? j0

( i = 1 , 2 ,… ,n ) (l-123) 將這個關系代入式(l-117)、式(l-118)的 右端并計及式(l-116)的關系,可得 p (e , f ) ? Q (e , f ) ? 0 (1-124)
( 0) ( 0) ( 0) ( 0) i i

四.保留非線性潮流算法 這便節省了計算 P 及Q 的時間。應用式 (l-119)~式(1-124)的關系,式(1117)、式(1-118)可寫成
( 0) i ( 0) i

?P / ? ? H ? /? ? ? ?Q ? ?M

N ? ??f ? ? sP ? ?? ? ? ? ? L ? ? ?e ? ?sQ ?

(1-125)

四.保留非線性潮流算法 上式中,雅可比矩陣的元素根據式(143)~式(1-50)并計及式(1-116)及式 (1-123)兩個關系式以后,可得
?Pi ?Pi ? H ii ? ? ?e s Bii , H ij ? ? ?e s Bij ? ?f i ?f j ? ?Pi ?Pi N ii ? ? e s Gii , N ij ? ? e s Gij ? ? ?ei ?e j ? ?(1-126) ?Qi ?Qi M ii ? ? ?e s Gii , M ij ? ? ?e s Gij ? ?f i ?f j ? ? ?Qi ?Qi Lii ? ? ?e s Bii , Lij ? ? ?e s Bij ? ?ei ?e j ? ?

四.保留非線性潮流算法 于是,式(1-125)可改寫成
?P / ? ? B ? G ? ??f ? ? sP ? ?? ? ? / ? ? ?es ? ? ? ? ?G B ? ? ?e ? ?sQ ? ?Q ?

(1-127)

定義 ?? RP ? ? ? sP ? ? ? P / ?
? RQ ? ? ? ? sQ ? ? ? ? /? ?Q ?

(1-128)

于是得到如下的修正方程式

(l-129) 注意這里的雅可比矩陣是一個常數對稱陣。

? RP es ? ? ? B G ? ? ?f ? ? RQ e ? ? ? G B ? ? ?e ? ? ?? ? s? ?

四.保留非線性潮流算法 第三個特點:二階項的計算方法: 應用本章的式(1-77)、采用直角坐標的 潮流方程泰勒展開式中,二階項具有和 f 第一項相同的函數表示式,僅變量 e 、 分別用 ?e、?f 取代而已,所以 sP ? ? [?e (G ?e ? B ?f ) ? ?f (G ?f ? B ?e )] ? ? ? sQ ? ? [?f (G ?e ? B ?f ) ? ?e (G ?f ? B ?e )]? (1-130)
i j?i i ij j ij j i ij j ij j i j?i i ij j ij j i ij j ij j

?

四.保留非線性潮流算法 展開式(1-129),可得
? Bij ?f j ) ? RPi ei ? ? j?i ? (Gij ?f j ? Bij ?e j ) ? RQi es ? ? j?i ?
ij j

? (G ?e

(l-131)

于是式(l-130)化為 sPi ? ?ei ? RPi es ? ? ?f i ? RQi sQi ? ?fi ? RPi es ? ? ?ei ? RQi

es ? ? ? ? es ? ? ?

( l-132)

四.保留非線性潮流算法 若寫成迭代格式,即為

sPi ( k ?1) ? ?ei( k ) ? RPi ( k ) es ? ? ?fi ( k ) ? RQi( k ) es ? ? ? ? ( k ?1) (k ) (k ) (k ) (k ) (1-133) sQi ? ?fi ? RPi es ? ? ?ei ? RQi es ? ? ?

k 表示迭代次數。 式中:

四.保留非線性潮流算法
由于這個關系式,求取第 k ? 1 次迭代的 sPi ( k ?1)、sQi( k ?1) 只要利用前一次迭代已用過的 (k ) (k ) RP e RQ es 以及由式(l-129)求解得到 i i 、 i 的 ?ei(k )、?f i (k ) 做兩次乘法及一次加法,提 高了計算速度。

四.保留非線性潮流算法
如果網絡中除平衡節點外全部為 PQ節 點,則計算過程就是反復地應用式(l119)、(l-120)、(l-133)、(l-125)和 (l-129)進行迭代計算。在進行第一次 ( 0) ( 0) sP ? sQ ? 0。 迭代時,置

四.保留非線性潮流算法 若電力系統除了 l 個 PQ 節點及一個平 衡節點之外,還有 m 個 PV 節點,則對 每個 PV 節點,具有式(l-113)及式(l115)兩個方程式。 對于式(l-113)的處理,和討論 PQ節點 用的方法相同,但在利用式(l-132) 求 PV 節點的 sP 時,由于 PV 節點沒有相應 的節點無功功率方程式,所以其中的 RQ e 利用式(l-131)計算。
i
i

s

四.保留非線性潮流算法 以下討論對式 (l-115) 的處理。將式 (l-115) 在給定電壓初值附近展成泰勒 級數 (U ) ? (e ? f ) ? (2e ?e ? 2 f ?f ) ? sU ? e ? 2e ?e ? sU(l-134) 2 2 RU ? ( U ) ? e 定義 i (l-136) i s ? sUi 則有 RU ? 2e ?e (1-137)
2 i (0)2 i (0)2 i (0) i (0) i i i i 2 s s i i

i

s

i

四.保留非線性潮流算法 當系統中同時存在 PQ 及 PV 節點,并且 PV PQ 節點的后面,修正 節點的編號排在 方程具有下面的形式 l?m l?m
l ? m ? RP e s ? ? ? l ? RQ e s ? ? ? ? m ? RU e s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B G' Ja 2l ? m G B' Jb m ? ? ? ? ? ? ? ?f ? l ? m ? ? ? ?e ? l ? PQ ? ? ? m ? ?e PV ?

(l-138)

四.保留非線性潮流算法 分析式(l-138)發現,系數矩陣前 (2l ? m) 行和列組成方陣 J c 是一個完全對稱的常數 陣,因此式(l-138)可改寫成
l ? m ? RP es ? 2l ? m ? ? l ? RQ es ? ? ? J c ? ? ? Ja m ? RU es ? ? ? ? ? m Jd Jb ? ?f ? l ? m ? ? ? ? ?e ? l ? ? PQ ? ? m ? ?? ? ?ePV ?

(l-139)

四.保留非線性潮流算法 Jb 由于 J 是一個零陣,是一個對角元全 為2 的對角陣,所以由式(l-139)可得 ?1 ?ePV ? Jb RU es ? RU ? 2es ? (l-142)
a

(1-143) 由于 J c 是一個常數對稱陣,所以只需 在迭代前三角因子化一次即可。

? RP es ? ? ?f ? RU ? ?1 ? ? Jd ? ??e ? ? J c ? ? ? 2es ? ? PQ ? ? ? RQ es ?

四.保留非線性潮流算法
啟動 輸入原始數據 形成節點導納矩陣
(0) 賦電壓初值ei ? jf i ( 0 ) ? es ? j 0

(i ? 1 , 2, 3,

, n)

形成 J

c

并三角分解

k=0
sP ( 0 ) ? sQ ( 0 ) ? sU
(0)

? 0

由式( 1 ? 119)和式( 1 ? 120)計算P?( k )、Q?( k )

k=k+1

由式( 1 ? 128)和式( 1 ? 136)計算RP ( k )、RQ ( k )、RU
(k ) 由式( 1 ? 142)計算?eP V

(k )

由式( 1 ? 143)解得?f

(k )

(k ) , ?ePQ

f e

( k ?1)

? f ?e

(0)

? ?f

(k )

( k ?1)

(0)

? ?e

(k )

由式( 1 ? 133)和式( 1 ? 135)計算sP ( k ?1)、sQ( k ?1)、sU ( k ?1)

否 收斂否?

是 計算支路潮流 輸出結果 停機

直角坐標包括二階項的快速潮流算法原理框圖

四.保留非線性潮流算法 (三)算法的性能和特點 在收斂特牲方面,由于直角坐標形式包 括二階項的快速潮流算法和IwamotoTomura算法,這兩種算法均屬于“等斜 率法”的范疇,和牛頓法的具有平方收 斂特性比較,達到收斂所需的迭代次數 將比牛頓法多。

四.保留非線性潮流算法
就計算速度而言, 1)由于這種算法能利用式(1-133)快速計 算二階項,因此每次迭代所需的時間比 Iwamoto-Tomura算法要少 2)由于雅可比矩陣是一個常數、對稱矩 陣,所以形成該矩陣并三角分解所需的 時間也比后者要少,算法總的計算速度 估計比后者快40 % ~ 50 %,接近P-Q分 解法。

四.保留非線性潮流算法
3)由于雅可比矩陣的對稱性質使得所 需的矩陣存儲量大為減少。這種算法采 用的是精確的數學模型,算法推導過程 中沒有做任何近似,因此計算實踐表明 對于具有大比值元件的系統以及具有串 聯電容支路的系統,這種算法較之P-Q 分解法具有更好的收斂可靠性。

§6.3 高斯—塞德爾迭代法潮流計算
二、高斯-塞德爾迭代法原理及求解步驟
[例6-1] 已知方程組 ?3x ? 2 x x ? 1 ? 0 1 1 2

? ?3x2 ? x1 x2 ? 2 ? 0

用高斯-塞德爾求解(ε<0.01)。

解:(1)將方程組

2 (k ) (k ) 1 ? ( k ?1) x1 ? ? x1 x2 ? ? ? 3 3 改寫成迭代公式:? ? x ( k ?1) ? 1 x ( k ) x ( k ) ? 2 2 1 2 ? 3 3 ?

(2)設初值 x ( 0) ? x ( 0) ? 0;代入上述迭代公式 1 2

電力工程系
Department of Electrical Engineering

Thanks
Http\\ www.ncepu.edu.cn\ee
North China Electric Power University


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